Question

（2012•江西模拟）已知函数f（x）=ln（x+2）-x²+bx+c．在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（-1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析：与直线3x+7y+2=0垂直的直线的斜率为

7

3

，令f′(1)=

7

3

，得b=4，又f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，所以c=5，f′(x)=

1

x+2

-2x+4，由f′（x）=0，得x=

3 2

2

，由此能求出以f（x）在[0，3]最小值．

解答：解：与直线3x+7y+2=0垂直的直线的斜率为

7

3

，
令f′(1)=

7

3

，得b=4，
∵f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，
∴c=5，f′(x)=

1

x+2

-2x+4，
由f′（x）=0，得x=

3 2

2

，
当x∈[0，

3 2

2

]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；
当x∈(

3 2

2

，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减．
∵f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，
所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5．

点评：本题考查利用导数的性质求函数在闭区间上的最小值，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．