题目内容
如图，正方体ABCD—A1B（1）求证：AC1∥平面BED；
（2）求二面角A1BDE的大小.
解法一：（1）方法一:证明：连结AC交BD于O，连结OE. ?
∵E为棱CC1的中点，?
又∵在正方形ABCD中，O是AC的中点，?
∴OE∥AC1. ?
又∵OE
平面BED，AC1平面BED，?
∴AC1∥平面BED.
?
方法二：证明：∵
=
+
+
??
=
+
+2
??
=（
+
）+(
+
)?
=
+
， ?
又∵
与
不共线，∴
与
、
共面.?
又∵AC1
平面BED，∴AC1∥平面BED. ?
（2）解：连结A1O，A1E. ?
在等边△A1BD中，A1O⊥BD,?
∵△BEC≌△DEC,?
∴BE=DE.又∵O为BD中点,?
∴OE⊥BD.∴∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角. ?
在正方体ABCD—A1B
∵E为棱CC1的中点，由平面几何知识得?
EO=
a，A1O=
a，A1E=
方法一：∴cos∠A1OE=
?
=
=0.?
∴∠A1OE=90°.?
故二面角A1-BD-E为90°. ?
方法二:∵A1E2=A1O2+EO2,∴∠A1OE=90°.?
故二面角A1-BD-E为90°. ?
解法二：如图所示建立空间直角坐标系A-xyz, 设AD=
(1)方法一：A（0，0，0），C（
连结AC交BD于O，连结OE.?
∵O为AC中点，∴O（a,a,0）.?
又E为CC1中点，∴E（
∴
=（
=（a，a，a）.?
∴
=2
.∴
∥
. ?
又∵AC1与OE不共线,∴AC1∥OE.?
又OE
平面BED，AC1
平面BED,?
∴AC1∥平面BED.
?
方法二：
=（0,
=(
=(
假设存在实数x、y，使
=x
+y
，?
则
解得
∴
=
+
. ?
又∵
与
不共线.∴
与
、
共面.?
又∵AC1
平面BED，∴AC1∥平面BED. ?
（2）方法一：连结A1O，OE.在等边△A1BD中，A1O⊥BD.?
∵△BEC≌△DEC,?
∴BE=DE.?
又∵O为BD中点,?
∴OE⊥BD.∴∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角. ?
∵
=（-a,-a,
=（a,a,a）, ?
∴cos〈
,
〉=
?
=
=0.?
∴〈
,
〉=90°.故二面角A1-BD-E为90°. ?
方法二：
=（
=（0，
=（
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),?
由n·
=0及n·
=0，得
取x=1,y=z=1,则n=(1,1,1). ?
设平面BED的法向量为m=(x,y,z),?
由m·
=0，m·
=0，得
取y=1,则x=1,z=-2.?
∴m=(1,1,-2). ?
cos〈n,m〉=
=
=0.?
∴〈n,m〉=90°.?
故二面角A1-BD-E为90°.
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