Question

已知函数f（x）=x²-(2a+1)x+alnx，
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调增区间；
(Ⅱ)求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x，若存在使得f(x₀)≥g(x₀)成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=x²-3x+lnx，定义域为(0，+∞)，
，
令f′(x)=0，得x=1或x=，

所以，函数f(x)的单调递增区间为和（1，+∞）。
(Ⅱ)，
令f′(x)=0，得x=a或x=，
当a≤1时，

所以；
当1＜a＜e时，

所以；
当a≥e时，

所以。
(Ⅲ)由题意，不等式在上有解，
即在上有解，
因为当时，lnx≤0＜x；
当时，lnx≤1＜x，所以lnx-x＜0，
所以在上有解，
设，
则，
因为，所以x+2＞2≥2lnx，
所以当时，h′(x)＜0，此时h(x)是减函数；
当时，h′(x)＞0，此时h(x)是增函数。
因为，
所以当时，，
所以，
所以实数a的取值范围是。