Question

【题目】已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a，若函数f(x)在区间上无零点，求实数a的最小值.

Answer 1

【答案】2－4ln 2.

【解析】试题分析：

由题意可知f(x)<0在区间上恒成立不可能，则原问题等价于对x∈,恒成立.构造函数,则，

再令，可得m(x)> 0，则l(x)在上为增函数,据此可得a∈[24ln2,+∞)，a的最小值为24ln2.

试题解析：

函数的解析式即：

为定值，而，

故f(x)<0在区间上恒成立不可能，

故要使函数f(x)在上无零点，

只要对任意的x∈,f(x)>0恒成立,

即对x∈,恒成立.

令,则，

再令，

则,故m(x)在上为减函数,于是m(x)>m()=22ln2>0，

从而, ,于是l(x)在上为增函数,所以l(x)<l()=24ln2，

故要使恒成立,只要a∈[24ln2,+∞)，

综上,若函数f(x)在上无零点，则a的最小值为24ln2.