Question

设f（x）=．
（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅱ）求证对任意非零实数x，都有＞0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由于 f（x）=1-，设x₁＜x₂，计算 f（x₁）-f（x₂）=＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），可得函数f（x）在R上是增函数．
（Ⅱ）由于当x＞0时，2^x-1＞0，f（x）=＞0；当x＜0时，2^x-1＜0，f（x）=＜0，命题得证．
解答：解：（Ⅰ）由于 f（x）==1-，设x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=（1-）-（1-）=＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），故函数f（x）在R上是增函数．
（Ⅱ）由于当x＞0时，2^x-1＞0，f（x）=＞0；当x＜0时，2^x-1＜0，f（x）=＜0，
∴对任意非零实数x，都有＞0．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的性质应用，属于中档题．