题目内容
设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤f(
)对一切x∈R恒成立，则
①f(
)=0；
②f(
)＜f(
)；
③f（x）是奇函数；
④f（x）的单调递减区间是[kπ+
，kπ+
]，（k∈Z）；
⑤f（x）的图象与过点（a，|a|+|b|）的所有直线都相交．
以上结论正确的是
| π |
| 6 |
①f(
| 11π |
| 12 |
②f(
| 7π |
| 10 |
| π |
| 5 |
③f（x）是奇函数；
④f（x）的单调递减区间是[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
⑤f（x）的图象与过点（a，|a|+|b|）的所有直线都相交．
以上结论正确的是
①②④
①②④
（写出正确结论的编号）分析：先化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到f（
）是三角函数的最大值，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．
| π |
| 6 |
解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=
sin（2x+θ），f(x)≤f(
)对一切x∈R恒成立
∴sin（2×
+θ）=1，即2×
+θ=
+2kπ
∴θ=2kπ+
∴f（x）=
sin（2x+2kπ+
）=
sin（2x+
）
对于①，f（
）=
sin（2×
+
）=0，故①正确；
对于②，f（
）=
sin（2×
+
）＜0，f（
）=
sin（2×
+
）＞0，故②正确；
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故③不正确；
对于④，
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，解得x∈[kπ+
，kπ+
]，（k∈Z），故④正确；
对于⑤，直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|a|+|b|＞
，而此不等式可能成立，故f（x）的图象与过点（a，|a|+|b|）的所有直线有直线与它不相交．
故答案为：①②④
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
∴sin（2×
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴θ=2kπ+
| π |
| 6 |
∴f（x）=
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
对于①，f（
| 11π |
| 12 |
| a2+b2 |
| 11π |
| 12 |
| π |
| 6 |
对于②，f（
| 7π |
| 10 |
| a2+b2 |
| 7π |
| 10 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 5 |
| a2+b2 |
| 7π |
| 5 |
| π |
| 6 |
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故③不正确；
对于④，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
对于⑤，直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|a|+|b|＞
| a2+b2 |
故答案为：①②④
点评：本题主要考查了三角函数的性质，研究性质常用整体处理的思想方法，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．
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