Question

已知函数f（x）=x-

p

x

（x＞1）
（1）若函数在f（x）在定义域上是增函数，求实数p的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜2

Answer 1

分析：（1）函数在f（x）在定义域上是增函数，可知其导数为正在（1，+∞）上恒成立，由此不等式求解参数的范围即可．
（2）解关于x的不等式f（x）＜2即求解x-

p

x

＜2在（1，+∞）上的解集，由此可以将不等式变为二次不等式求解问题，x-

p

x

＜2在（1，+∞）上可变为x²-2x-p＜0，由于此不等式中含有参数，故应对参数范围进行讨论，分类解不等式．

解答：解：（1）由已知函数在f（x）在定义域上是增函数
故f′（x）=1+

p

x2

＞0在（1，+∞）恒成立，
即 p＞-x²在（1，+∞）恒成立，
由于-x²在（1，+∞）上的最大值小于-1，故可得p≥-1
即实数p的取值范围是[-1，+∞）
（2）由x-

p

x

＜2及x＞1得x²-2x-p＜0
①当p≤-1时，得△=4+4p≤0，此时x²-2x-p＜0无解；
②当p＞-1时，可解得1-

1+p

＜x＜1+

1+p

且x＞1
所以得1＜x＜1+

1+p

点评：本题考点是函数单调性的应用，考查了用单调性求参数的范围，运用方式是利用单调性得到参数所满足的不等式，通过解不等式的解集求参数的取值范围，第二小题考查了转化法求解不等式，将分式不等式转化为二次不等式求解，此转化过程中有一易错点，分式两边同乘以分母时要注意判断分母的符号，若其为正则不等号方向不改变，若其符合为负，则去分母后要改变不等式的方向，本题中分母为正，故去分母后，不等号的方向不用改变．