Question

【题目】已知数列满足 .

(1)证明：当时，；

(2)证明： ()；

(3)证明：为自然常数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）用数学归纳法证明，先证成立，再假设当时结论成立，即，再证当，成立，这一步需要用到这一假设

（2）先观察证明的恒等式，发觉右侧出现了裂项的基本形式，故可考虑将式子作如下变形处理，通过移项可得，再采用叠加法即可求得

由递推公式和（1）的结论有

变形得，两边同取对数得，再利用导数公式，可得

即，再采用累加法通过变形最后即可得到

（1）（用数学归纳法证明）

①当时，，

所以结论成立；

②假设当时结论成立，即．

则当时

所以时，结论成立．

由①②可知，当时，成立

（2）由题意得

所以

所以，

，

，

……

，

以上各式两边分别相加可得，

又，所以

．

（3）由题意得，

∴，

∴，（利用了导数公式的性质）

∴，

由累加法得

，

所以，

所以，

故，

所以为自然常数.