Question

已知向量

m

=(3sinA，cosA)，

n

=(

1

3

cosB，sinB)，

m

•

n

=sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinB，sinC成等比数列，且

CA

•

CB

=18，求c的值．

Answer 1

分析：（1）首先由题意得到sinAcosB+cosAsinB=sin2C，由sin[180°-（A+B）]=sinC得出sinC=sin2C，进而得到cosC=

1

2

，从而求出角C的度数；
（2）根据等差数列性质，得出sin²C=sinAsinB，进而求正弦定理得到c²=ab，由

CA

•

CB

=18能够求得ab=36，即可求出c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（3sinA，cosA），

n

=(

1

3

cosB，sinB)，

m

•

n

=sin2C
∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C即sinC=sin2C（3分）
∵sinC≠0∴cosC=

1

2

又C为三角形的内角，∴C=

π

3

（5分）
（Ⅱ）∵sinA，sinC，sinB成等比数列，∴sin²C=sinAsinB（6分）
∴c²=ab又

CA

•

CB

=18（7分）
∴abcosC=18（8分）
∴ab=36故c²=36∴c=6（10分）

点评：本题考查了三角函数化简求值、等比数列的性质以及正弦定理等知识，在三角形中尤其要注意内角和180°的灵活运用．属于基础题．