Question

函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-2x存在单调递减区间，则a的范围

（-1，+∞）

．

Answer 1

分析：根据函数的解析式可求得函数的定义域，求导，由函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-2x存在单调递减区间，转化为导数小于零在（0，+∞）有解，然后采用分离参数即可求得a的范围．

解答：解：∵函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-2x的定义域为（0，+∞），
且函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-2x存在单调递减区间
∴f′(x)=

1

x

- ax -2=

-ax2-2x+1

x

＜0在（0，+∞）有解，
即-ax²-2x+1＜0在（0，+∞）有解，
故a＞

-2x+1

x2

=

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1在（0，+∞）有解，
∴a＞-1，
故a的范围为（-1，+∞）．
故答案为：（-1，+∞）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，根据题意，转化为导数小于零在（0，+∞）有解，是解题的关键，分离参数法简化运算，考查运算能力，属中档题．