Question

已知函数f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+2cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大最小值及相应的x的值；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

3

2

+sin（2x+

π

6

），由此求得它的最小正周期．
（2）根据正弦函数的定义域和值域，当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

时，k∈z，函数f（x）取得最小值，当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

时，k∈z，函数f（x）取得最大值，由此可得函数f（x）的最大、最小值及相应的x的值．
（3）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．

解答：解：（1）∵函数f（x）=sin2x+

3

sinxcosx+2cos2x=1+

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

3

2

+sin（2x+

π

6

），
故f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．
（2）当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

时，k∈z，函数f（x）取得最小值为

3

2

-1=

1

2

，此时x的值为{x|x=kπ-

π

3

，k∈z}；
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

时，k∈z，函数f（x）取得最大值为

3

2

+1=

5

2

，此时x的值为{x|x=kπ+

π

6

，k∈z}．
（3）把函数y=sin2x（x∈R）的图象上的所有点向左平移

π

12

个单位可得函数y=sin2（x+

π

12

）的图象，再把所得
图象上的所有点向上平移

3

2

个单位，即可得到 函数f（x）=

3

2

+sin（2x+

π

6

） 的图象．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．