Question

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行．
（1）求m的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

9

10

．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，f'（x）=-3x²-4mx-m²，函数f（x）图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行，可得函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m的图象在x=2处的切线得斜率为-5，也即f′（2）=-5，代入f'（x）=-3x²-4mx-m²即可求解m的值．
（2）求出函数的f（x）的导数，令f′（x）=0，求出其极值点和单调区间，导数利用导数求解最值．
（3）根据f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x），由（2）的结论，可得

1

1+x2

≤ 

27

50

(2-x)，再根据已知条件，利用不等式间的等价转化求解．

解答：解：（1）∵f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得m=-1或m=-7（舍），即m=-1（3分）
（2）由f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x1=1，x2=

1

3

，

∴函数f（x）在区间[0，1]的最小值为f(

1

3

)=

50

27

．

（3）∵f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x），
由（2）知，当x∈[0，1]时，(1+x2) (2-x)≥

50

27

，
∴

1

1+x2

≤ 

27

50

(2-x)，
∴

x

1+x2

≤

27

50

(2x-x2)．
当a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1时，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1，
所以

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

[2(a+b+c)-(a2+b2+c2)]=

27

50

[2-(a2+b2+c2)]
又因为（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3（a²+b²+c²），
所以a2+b2+c2≥

1

3

，
故

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

(2-

1

3

)=

9

10

（当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号）．

点评：本题主要考查区间上的最值问题，解题的关键是要对函数进行正确的求导，第三问要求掌握不等式间的等价转化，本题难度比较大，是一道难题．