Question

设函数f（x）=

2-x+3(x＜-1) 23x+1(-1≤x≤1) 2x+3(x＞1)

（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≥2^2a-2^a-

7

4

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据分段函数的解析式，作出分段函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间；
（2）将不等式f（x）≥2^2a-2^a-

7

4

恒成立，转化为f（x）_min≥2^2a-2^a-

7

4

，根据（1）中作出的分段函数的图象，即可求得f（x）_min，从而得到关于a的不等式，先求解2^a的取值范围，再应用指数函数的单调性求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

2-x+3(x＜-1) 23x+1(-1≤x≤1) 2x+3(x＞1)

，
∴作出分段函数f（x）的图象如右图所示，
根据图象从左向右呈“上升”趋势的为单调递增，呈“下降”趋势的即为单调递减，
∴函数f（x）的单调区间为（-∞-1），（-1，+∞）；
（2）根据（1）中的f（x）的图象，可知当x=-1时，f（x）取得最小值f（x）_min=f（-1）=

1

4

，
∵不等式f（x）≥2^2a-2^a-

7

4

恒成立，即f（x）_min≥2^2a-2^a-

7

4

，
∴

1

4

≥2^2a-2^a-

7

4

，整理可得2^2a-2^a-2≤0，
∴（2^a+1）（2^a-2）≤0，即-1≤2^a≤2，
又∵2^a＞0，
∴0＜2^a≤2，解得a≤1，
故实数a的取值范围为a≤1．

点评：本题考查了分段函数的应用，主要是分段函数的单调性和最值问题．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解，根据分段函数的图象很容易得到相关的性质，若选用分类讨论的方法，则关键是讨论需用哪段解析式进行求解．本题同时考查了不等式的恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．