Question

设a＞0，b＞0，则下面不等式中不恒成立的是（　　）

• A、

  1

  a

  +

  1

  b

  ≥

  4

  a+b

• B、a²+b²+1＞a+b
• C、

  |a-b|

  ≥

  a

  -

  b

• D、

  2

  1 a + 1 b

  ≥

  ab

Answer 1

分析：根据基本不等式的性质可知，（a+b）（

1

a

+

1

b

）≥4，排除A；
a²+b²+1-（a+b）=（a-

1

2

）²+（b-

1

2

）²+

1

2

＞0，排除B；
分a＜b和a≥b，两种情况讨论可得

|a-b|

≥

a

-

b

恒成立，排除C；
举出反例a=1，b=2，可判断D中不等式

2

1 a + 1 b

≥

ab

不恒成立

解答：解：∵a＞0，b＞0，
∴（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+（

b

a

+

a

b

）≥2+2=4，
故A中

1

a

+

1

b

≥

4

a+b

不等式恒成立；
a²+b²+1-（a+b）=（a-

1

2

）²+（b-

1

2

）²+

1

2

＞0恒成立，
故C中不等式a²+b²+1＞a+b恒成立；
若a＜b，则

|a-b|

≥

a

-

b

恒成立
若a≥b，则（

|a-b|

）²-（

a

-

b

）²=2

ab

≥0，
故C中不等式

|a-b|

≥

a

-

b

恒成立．
当a=1，b=2时，

2

1 a + 1 b

=

4

3

，

ab

=

2

，
此时

2

1 a + 1 b

≥

ab

不成立．
故选：D．

点评：本题主要考查了基本不等式问题．考查了学生对基础知识的掌握．