题目内容

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x²+4x-30|对?x∈R恒成立，数列{a_n}满足： $数学公式$ ， $数学公式$ ，数列{b_n}满足： $数学公式$ ．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n和为S_n，前n的积为T_n，求 $数学公式$ 的值．

解：（Ⅰ）方程2x²+4x-30=0有两实根x=-5或x=3…（1分）
由题意知：当x=-5时，|f（-5）|≤|2•（-5）²+4•（-5）-30|=0，
又∵|f（-5）|≥0，
∴f（-5）=0…（3分）
∴-5是f（x）的一个零点，同理，3也是f（x）的一个零点，…（4分）
∴f（x）=x²+ax+b=（x-3）（x+5）=x²+2x-15，即a=2，b=-15，
显然，|x²+2x-15|≤2|x²+2x-15|对x∈R恒成立．
∴a=2，b=-15…（6分）
（Ⅱ）∵a₁= $\text{[math]}$ ，2a_n=f（a_n-1）+15，
∴2a_n= $\text{[math]}$ +2a_n-1=a_n-1（a_n-1+2），n=2，3，4，…（7分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，n=2，3，4，…，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，n=1，2，3，…
∴b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，…（9分）
T_n=b₁b₂…b_n= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（10分）
又∵b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ …（12分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ …（13分）
∴2ⁿ⁺¹T_n= $\text{[math]}$ =2-S_n，
∴S_n+2ⁿ⁺¹T_n=2为定值． …（14分）
分析：（Ⅰ）由方程2x²+4x-30=0有两实根x=-5或x=3可知，∴-5是与-3是函数f（x）=x²+ax+b的零点，利用韦达定理即可求得a，b的值；
（Ⅱ）由a₁= $\text{[math]}$ ，2a_n=f（a_n-1）+15可求得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，结合已知b_n= $\text{[math]}$ 可求得b_n= $\text{[math]}$ ，从而可求得T_n，对b_n= $\text{[math]}$ 进一步转化可得b_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，继而可求得其前n项和S_n，问题即可解决．
点评：本题考查二次函数的零点，数列的求和，考查数列递推公式的应用，突出考查累乘法与裂项法求和的应用，综合性强，难度大，考查创新意识与综合应用能力，属于难题．