Question

已知函数f(x)=4cos2x-4

3

asinxcosx，将f（x）的图象先向右平移

π

4

个单位，再向下平移2个单位后，所得到函数y=g（x）的图象关于直线x=

π

12

对称．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）已知f(x-

π

6

)=2cosx-2，求sin²x+cosx的值．

Answer 1

分析：（I）根据二倍角的三角函数公式，化简得f(x)=2cos2x-2

3

asin2x+2，再由函数图象平移的公式得到g（x）的表达式，由三角函数图象的对称轴公式建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值；
（II）由（I）得f(x)=4cos(2x+

π

3

)+2，结合f(x-

π

6

)=2cosx-2建立关于cosx的方程解出cosx=0或

1

4

，再代入计算即可得到sin²x+cosx的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，化简f(x)=2cos2x-2

3

asin2x+2，
将f（x）的图象先向右平移

π

4

个单位，再向下平移2个单位后的解析式为g(x)=f(x-

π

4

)-2=2sin2x+2

3

acos2x，…（3分）
∵g（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，
∴g(0)=g(

π

6

)，可得2

3

a=

3

+

3

a，解得a=1…（6分）
（Ⅱ）f(x)=2cos2x-2

3

sin2x+2=4cos(2x+

π

3

)+2
由f(x-

π

6

)=2cosx-2得：4cos2x+2=2cosx-2…（8分）
即cosx（4cosx-1）=0
所以cosx=0，或cosx=

1

4

…（10分）
又sin²x+cosx=1-cos²x+cosx
所以sin²x+cosx=1，或sin2x+cosx=

19

16

…（12分）

点评：本题给出函数图象的平移，在平移后的图象关于直线x=

π

12

对称的情况下求函数表达式，并依此求三角式的值．着重考查了三角恒等变换公式、同角三角函数的关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．