Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=

2(an-1)

an

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲证数列{a_n+1-a_n}是等比数列，利用等比数列的定义，只需证

an+1-an

an-an-1

 （n≥2）是个非零常数．
（2）利用（1）的结论求出b_n，然后求出数列{b_n}的前n项和为S_n，通过对不等式的分析，探讨使S_n＞2010的n的最小值．

解答：解：（I）∵a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）
∴（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵a₁=2，a₂=4∴a₂-a₁=2≠0，∴a_n+1-a_n≠0
故数列{a_n+1-a_n}是公比为2的等比数列
∴a_n+1-a_n=（a₂-a₁）2^n-1=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2¹+2
=

2(1-2n-1)

1-2

+2=2ⁿ（n≥2）
又a₁=2满足上式，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（II）由（I）知bn=

2(an-1)

an

=2(1-

1

an

)=2(1-

1

2n

)=2-

1

2n-1

∴Sn=2n-(1+

1

21

+

1

22

++

1

2n-1

)
=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2(1-

1

2n

)
=2n-2+

1

2n-1

由S_n＞2010得：2n-2+

1

2n-1

＞2010，
即n+

1

2n

＞1006，因为n为正整数，所以n的最小值为1006

点评：本题是个中档题，主要考查了由数列的递推式证明等比数列和求数列通项和前n项和的方法，同时考查对于不等式的分析能力．