Question

15．已知函数f（x）=2x+$\frac{1}{x}$+λlnx（x＞0）．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求λ的值；
（2）求函数f（x）极值的个数；
（3）若对于任意两个不相等的正数x₁，x₂均有|f′（x₁）-f′（x₂）|＜|x₁-x₂|恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，可得λ的值；
（2）求出f（x）的导数，对λ讨论，结合函数的定义域，即可得到极值个数；
（3）求出导数，代入化简整理可得|$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-λ|＜x₁x₂，运用不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2x+$\frac{1}{x}$+λlnx（x＞0）的导数为f′（x）=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{λ}{x}$，
若x=1是函数f（x）的一个极值点，则f′（1）=0，
即为2-1+λ=0，解得λ=-1；
（2）函数f（x）=2x+$\frac{1}{x}$+λlnx（x＞0）的导数为f′（x）=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{λ}{x}$
=$\frac{2{x}^{2}+λx-1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=2x²+λx-1，由g（x）=0，可得x=$\frac{-λ±\sqrt{{λ}^{2}+8}}{4}$，
当λ=0时，x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，由x＞0，可得只有一个极值；
当λ＞0时，g（x）=0的解只有一个正解，即极值只有一个；
当λ＜0时，g（x）=0的解只有一个正解，即极值只有一个．
综上可得，函数f（x）极值的个数为1；
（3）若对于任意两个不相等的正数x₁，x₂均有|f′（x₁）-f′（x₂）|＜|x₁-x₂|恒成立，
即为|2-$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{λ}{{x}_{1}}$-2+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$-$\frac{λ}{{x}_{2}}$|＜|x₁-x₂|恒成立，
化简可得|$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$-$\frac{λ}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＜1，即有|$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-λ|＜x₁x₂，
即为$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₁x₂＜λ＜$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+x₁x₂恒成立，
由$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+x₁x₂＞3$\root{3}{\frac{1}{{x}_{1}}•\frac{1}{{x}_{2}}•{x}_{1}{x}_{2}}$=3，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₁x₂无最值．
即有实数λ的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查分类讨论的思想方法和不等式恒成立问题的解决方法，属于中档题．