题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间；
（3）当a=2时，对任意的正整数n，在区间 $数学公式$ 上总有m+4个数使得f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，试求正整数m的最大值．

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
当a=0时， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．…（2分）
由f'（x）=0得 $\text{[math]}$ ．
f（x），f'（x）随x变化如下表：

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f（x）	-	0	+
f'（x）	↘	极小值	↙

故， $\text{[math]}$ ，没有极大值．…（4分）
（2）由题意， $\text{[math]}$
令f'（x）=0得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．…（6分）
若a＞0，由f'（x）≤0得 $\text{[math]}$ ；由f'（x）≥0得 $\text{[math]}$ ．…（7分）
若a＜0，①当a＜-2时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，f'（x）≤0； $\text{[math]}$ ，f'（x）≥0，
②当a=-2时，f'（x）≤0
③当-2＜a＜0时， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，f'（x）≤0； $\text{[math]}$ ，f'（x）≥0．
综上，当a＞0时，函数的单调递减区间为 $\text{[math]}$ ，单调递增区间为 $\text{[math]}$ ；
当a＜-2时，函数的单调递减区间为 $\text{[math]}$ ，单调递增区间为 $\text{[math]}$ ；
当-2＜a＜0时，函数的单调递减区间为 $\text{[math]}$ ，单调递增区间为 $\text{[math]}$ …（10分）
（3）当a=2时， $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，∴f'（x）≥0
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．…（12分）
由题意， $\text{[math]}$ 恒成立．
令 $\text{[math]}$ ，且f（k）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，
∴ $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ ，而m是正整数，故m≤32，
所以，m=32时，存在 $\text{[math]}$ ，a_m+1=a_m+2=a_m+2=a_m+4=8时，对所有n满足题意，∴m_max=32．
分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，进而可求f（x）的极值；
（2）求导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可确定函数的单调区间；
（3）当a=2时， $\text{[math]}$ ，求出函数的最值，问题转化为 $\text{[math]}$ 恒成立．
令 $\text{[math]}$ ，且f（k）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，由此可求正整数m的最大值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，正确求导是关键．