Question

已知数列的前项和为，且满足：， N^*，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在 N^*，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的N^*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.

Answer 1

（1）
（2）对于任意的，且，成等差数列

（1）由已知可得，两式相减可得，
即，又，
所以当r=0时，数列为a,0,0……,0，……；当时，由已知，所以,于是由，可得，所以成等比数列，当时，。
综上，数列的通项公式为：                (6分)
（2）对于任意的，且，是否成等差数列，证明如下：
当r=0时，由（1），知，
故对于任意的，且，7成等差数列；
当时，，。
若存在，使得成等差数列，则，
，即，
由（1），知的公比，
于是对于任意的，且，，从而，
，即成等差数列。
综上，对于任意的，且，成等差数列。                (12分)