Question

设n∈N^*，不等式组所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）
（1）求（x_n，y_n）；
（2）设数列{a_n}满足，求证：n≥2时，；
（3）在（2）的条件下，比较与4的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N^*，所以x=1，从而x=1与y=-nx+2n的交点为（1，n），即所以D_n内的整点（x_n，y_n）为（1，n）
（2）先化简为，两式相减即可证得
（3）先猜想：n∈N^*时，，再利用（2）的结论可以证明．
解答：解：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N^*，所以x=1
又x=1与y=-nx+2n的交点为（1，n），所以D_n内的整点，按由近到远排列为：
（1，1），（1，2），…，（1，n）------------------（4分）
（2）证明：n≥2时，
所以，
两式相减得：------------------（9分）
（3）n=1时，，n=2时，
可猜想：n∈N^*时，------------------（11分）
事实上n≥3时，由（2）知
所以
=
=
=

=-----（15分）
点评：本题以线性规划为载体，考查数列、不等式的证明，应注意充分挖掘题目的条件，合理转化