Question

已知函数f(α)=4

2

sin(2α-

π

4

)+2，在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3

2

，则a的值为（　　）

• A．10
• B．

  10

• C．

  π

  4

• D．

  π

  3

Answer 1

分析：根据f（A）=6，利用f（α）表达式解出sin(2A-

π

4

)=

2

2

，结合A为锐角并利用正弦函数的图象，解出A=

π

4

．由△ABC的面积为3，利用三角形面积公式算出bc=6

2

，结合b+c=2+3

2

利用余弦定理加以计算，可得边a的值．

解答：解：∵f(α)=4

2

sin(2α-

π

4

)+2，f（A）=6，
∴4

2

sin(2A-

π

4

)+2=6，解之得sin(2A-

π

4

)=

2

2

，
∵A∈（0，

π

2

），得2A-

π

4

∈（-

π

4

，

3π

4

），∴2A-

π

4

=

π

4

，解得A=

π

4

．
∵△ABC的面积为3，∴

1

2

bcsinA=3，即

1

2

bc×

2

2

=3，解得bc=6

2

，
又∵b+c=2+3

2

，∴b²+c²=（b+c）²-2bc=（2+3

2

）²-2×6

2

=22，
根据余弦定理，可得a²=b²+c²-2bccosA=22-2×6

2

×cos

π

4

=10，
∴a=

10

（舍负）．
故选：B

点评：本题给出三角形满足的条件，求边a之值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．