题目内容

已知椭C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，椭圆的短轴端点与双曲线
y2
2
-x2=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范围．
（I）由双曲线
y2
2
-x2=1得焦点(0，±
3
)，得b=
3
．
又e=
c
a
=
1
2
，a2=b2+c2，联立解得a2=4，c=1．
故椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），联立
y=k(x-4)
x2
4
+
y2
3
=1
，
（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0，
由△=（-32k2）2-4（4k2+3）（64k2-12）＞0得k2＜
1
4
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
32k2
4k2+3
，x1x2=
64k2-12
4k2+3
，
∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2，
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=(1+k2)•
64k2-12
4k2+3
-4k2•
32k2
4k2+3
+16k2=25-
87
4k2+3
，
∵0≤k2＜
1
4
，∴-
87
3
≤
87
4k2+3
＜-
87
4
，
∴
OA
•
OB
∈[-4，
13
4
)．
故
OA
•
OB
的取值范围为[-4，
13
4
)．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线x2=4
3
y的准线过双曲线
x2
m2
-y2=-1的一个焦点，则双曲线的离心率为（　　）
A．
3
2
4
B．
6
2
C．
3
D．
3
3
[理]如图，已知动点A，B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则△ABN的周长l的取值范围是______．
[文]点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是______．
已知椭圆C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为P（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设抛物线C2：y=x2+h（h∈R）的焦点为F，过F点的直线l交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C2的切线交于Q点，且Q点在椭圆C1上，求△ABQ面积的最值，并求出取得最值时的抛物线C2的方程．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x2+y2=1上任一点，使
OP
=m
OA
+n
OB
．
①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
②求OA2+OB2的值．
已知P是椭圆
x2
45
+
y2
20
=1的第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是（　　）
A．[-7，8]B．[-
9
2
，
21
2
]		C．[-2，2]D．（-∞，-7]∪[8，+∞）
在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），P为平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为-
1
4
，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若点D（0，2），点M，N是曲线C上的两个动点，且
DM
=λ
DN
，求实数λ的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F1、F2是其左右焦点，其离心率是
6
3
，P是椭圆上一点，△PF1F2的周长是2（
3
+
2
）．
（1）求椭圆的方程；
（2）试对m讨论直线y=2x+m（m∈R）与该椭圆的公共点的个数．
过点C（4，0）的直线与双曲线
x2
4
-
y2
12
=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（　　）
A．|k|≥1B．|k|＞
3
C．|k|≤
3
D．|k|＜1

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