Question

已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，一个焦点是F（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线l过点F交椭圆于A、B两点，且点F分向量所成的比为2，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆方程为（a＞b＞0）．依题意知c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，（2分），由此可知所求椭圆方程为．
（Ⅱ）若直线l的斜率k不存在，则不满足|AF|=2|FB|．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+1．因为直线l过椭圆的焦点F（0，1），所以k取任何实数，直线l与椭圆均有两个交点A、B．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．然后由根与系数的关系进行求解即可．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为（a＞b＞0）．（1分）
依题意，，c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，（2分）
∴所求椭圆方程为．（4分）
（Ⅱ）若直线l的斜率k不存在，则不满足|AF|=2|FB|．
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+1．因为直线l过椭圆的焦点F（0，1），所以k取任何实数，直线l与椭圆均有两个交点A、B．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．（6分）
∴，①，②
由F（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
∵，∴（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），得x₁=-2x₂．（8分）
将x₁=-2x₂代入①、②，得，③，④（10分）
由③、④得，=，化简得=，
解得，；
∴直线l的方程为：．（13分）
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．