Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．

(1)求MN的长；

(2)当a为何值时，MN的长最小；

(3)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP＝NQ，即MNQP是平行四边形．∴MN＝PQ，由已知，CM＝BN＝a，CB＝AB＝BE＝1， 　　∴，，即， 　　∴ 　　(2)由(1)知：， 　　 　　(3)取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN， 　　∴∠AGB即为二面角α的平面角．又，所以由余弦定理有 　　．故所求二面角．