Question

已知函数f（x）=x³-3x+1，g(x)=(

1

2

)x-m，若对?x₁∈[-1，3]，?x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是

m≥

5

4

．

Answer 1

分析：要使命题成立需满足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，利用函数的单调性，可求最值，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：要使命题成立需满足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，
函数f（x）=x³-3x+1．求导得f′（x）=3x²-3x=3（x-1）（x+1）
∴函数f（x）在[-1，1]上，f′（x）＜0，函数为单调减函数，
在[1，3]上，f′（x）＞0，函数为单调增函数，
∴x=1时，函数取得最小值为f（1）=-1，
∵g(x)=(

1

2

)x-m在[1，2]上是减函数，∴g（x₂）_min=g（2）=

1

4

-m，
∴-1≥

1

4

-m，即m≥

5

4

．
故答案为：m≥

5

4

．

点评：本题考查函数恒成立问题，解决的常用方法是转化为函数的最值问题进行处理．，考查学生逻辑思维，分析解决问题的能力．要使命题成立需满足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，是解题的关键，属于中档题．