题目内容
如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD=AD=1．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．
解：（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ
∵△PBA中，M、Q分别为PA、PB的中点，
∴MQ∥AB，
结合AB∥CD得
MQ∥CD
∵MQ
平面PCD，CD
平面PCD，
∴MQ∥平面PCD，
同理可得NQ∥平面PCD，
∵MQ、NQ是平面MNQ内的相交直线
∴平面MNQ∥平面PCD，
∵NM
平面MNQ
∴MN∥平面PCD；
（2）∵正方形ABCD的边长等于1
∴三角形ACB的面积为S△ABC=
SABCD=
．
又∵PD⊥底面ABCD，且PD=1，
∴三棱锥P﹣ABC的高为1，
因此三棱锥P﹣ABC的体积V=
S△ABC 
PD=
．
∵△PBA中，M、Q分别为PA、PB的中点，
∴MQ∥AB，
结合AB∥CD得
MQ∥CD
∵MQ
平面PCD，CD平面PCD，∴MQ∥平面PCD，
同理可得NQ∥平面PCD，
∵MQ、NQ是平面MNQ内的相交直线
∴平面MNQ∥平面PCD，
∵NM
平面MNQ∴MN∥平面PCD；
（2）∵正方形ABCD的边长等于1
∴三角形ACB的面积为S△ABC=
SABCD=．又∵PD⊥底面ABCD，且PD=1，
∴三棱锥P﹣ABC的高为1，
因此三棱锥P﹣ABC的体积V=
S△ABC PD=．
练习册系列答案
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