Question

已知函数f（x）=lnx+x²．
（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）-ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x₀=m+n，问：函数F（x）在（x₀，F（x₀））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意写出g（x）再求导数，由题意知g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，转化为a≤2x+

1

x

，再利用基本不等式求右边的最小值，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）先假设F（x）在（x₀，F（x₀））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx．结合题意列出方程组，利用换元法导数研究单调性，证出ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

在（0，1）上成立，从而出现与题设矛盾，说明原假设不成立．由此即可得到函数F（x）在（x₀，F（x₀））处的切线不能平行于x轴．

解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，∴g′（x）=

1

x

+2x-a
由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤（2x+

1

x

）_min
又x＞0，2x+

1

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

2

时等号成立
故（2x+

1

x

）_min=2

2

，所以a≤2

2

（Ⅱ）设F（x）在（x₀，F（x₀））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx
结合题意，有

2lnm-m2-km=0…① 2lnn-n2-kn=0…② m+n=2x0…③ 2 x0 -2x0-k=0…④

①-②得2ln

m

n

-（m+n）（m-n）=k（m-n）
所以k=

2ln m n

m-n

-2x0，由④得k=

2

x0

-2x₀
所以ln

m

n

=

2(m-n)

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

…⑤
设u=

m

n

∈（0，1），得⑤式变为lnu-

2u-2

u+1

=0（u∈（0，1））
设y=lnu-

2u-2

u+1

（u∈（0，1）），可得y′=

1

u

-

2(u+1)-(2u-2)

(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0
所以函数y=lnu-

2u-2

u+1

在（0，1）上单调递增，
因此，y＜y|_u=1=0，即lnu-

2u-2

u+1

＜0，也就是ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

此式与⑤矛盾
所以函数F（x）在（x₀，F（x₀））处的切线不能平行于x轴．

点评：本题给出含有对数符号的基本初等函数函数，讨论了函数的单调性并探索函数图象的切线问题，着重考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．