题目内容
已知函数f（x）=x3-3a|x-1|，（1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值．
分析：（1）通过举反例说明当a=1时，f（x）非奇非偶．
（2）利用绝对值的意义分段讨论去掉绝对值符号将f（x）转化为分段函数；分别通过导数求两段的最小值；比较两段的最小值，挑出最小值为f（x）d的最小值．
（2）利用绝对值的意义分段讨论去掉绝对值符号将f（x）转化为分段函数；分别通过导数求两段的最小值；比较两段的最小值，挑出最小值为f（x）d的最小值．
解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x3-3|x-1|，（2分）
此时f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函数．（5分）
（2）当0≤x＜1时，f（x）=x3-3a（1-x）=x3+3ax-3a，
当x≥1时，f（x）=x3-3a（x-1）=x3-3ax+3a
∴f(x)=
，（7分）
（i）当0≤x＜1时，f'（x）=3x2+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）内单调递增，此时[f（x）]min=f（0）=-3a（9分）
（ii）当x≥1时，f′(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x-
)(x+
)，
令f'（x）=0，可得两极值点x=-
或x=
，
①若0＜a≤1，则
≤1，可得f（x）在[1，+∞）内单调递增，
结合（i）、（ii）可得此时[f（x）]min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，则
＞1，可得f（x）在[1，
)内单调递减，(
，+∞)内单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）内有极小值f(
)=(
)3-3a
+3a=-2a
+3a，
此时[f(x)]min=min{f(0)，f(
)}
而f(
)-f(0)=-2a
+3a-(-3a)=-2a
+6a=-2a(
-3)
可得1＜a≤9时，f(
)≥f(0)，a＞9时，f(
)＜f(0)（14分）
∴综合①②可得，当0＜a≤9时，[f（x）]min=f（0）=-3a，
当a＞9时，[f(x)]min=f(
)=-2a
+3a（15分）
此时f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函数．（5分）
（2）当0≤x＜1时，f（x）=x3-3a（1-x）=x3+3ax-3a，
当x≥1时，f（x）=x3-3a（x-1）=x3-3ax+3a
∴f(x)=
|
（i）当0≤x＜1时，f'（x）=3x2+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）内单调递增，此时[f（x）]min=f（0）=-3a（9分）
（ii）当x≥1时，f′(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x-
| a |
| a |
令f'（x）=0，可得两极值点x=-
| a |
| a |
①若0＜a≤1，则
| a |
结合（i）、（ii）可得此时[f（x）]min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，则
| a |
| a |
| a |
∴f（x）在[1，+∞）内有极小值f(
| a |
| a |
| a |
| a |
此时[f(x)]min=min{f(0)，f(
| a |
而f(
| a |
| a |
| a |
| a |
可得1＜a≤9时，f(
| a |
| a |
∴综合①②可得，当0＜a≤9时，[f（x）]min=f（0）=-3a，
当a＞9时，[f(x)]min=f(
| a |
| a |
点评：本题考查通过举反例说明一个命题不成立的方法、考查通过绝对值的意义去绝对值符号、考查分段函数的最值分段求，比较出各段的最值、考查利用导数求函数的最值、考查分类讨论的数学思想方法．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|