Question

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l₁：x=-2的距离为d₁，到点F（-1，0）的距离为d₂，且．
（1）求动点P所在曲线C的方程；
（2）直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B（点A或B不在x轴上），分别过A、B点作直线l₁：x=-2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系（指在圆内、圆上、圆外等情况）；
（3）记S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的点），问是否存在实数λ，使S₂²=λS₁S₃成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线、点F（-c，0）、曲线C：，则使等式S₂²=λS₁S₃成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断______ （填写“不正确”或“正确”）（限于时间，这里不需要举反例，或证明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动点为P（x，y），依据题意，有，由此能求出动点P所在曲线C的方程．
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my-1，联立方程组，可化为（2+m²）y²-2my-1=0，则点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足．由此能推导出∠MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．
（3）由，，知==，==．由此知存在实数λ=4使得结论成立．
解答：解：（1）设动点为P（x，y），（1分）
依据题意，有，化简得．（3分） 因此，动点P所在曲线C的方程是：．（4分）
（2）点F在以MN为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x=my-1，
如图所示．（5分）
联立方程组，可化为（2+m²）y²-2my-1=0，
则点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足．（7分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得点M（-2，y₁）、N（-2，y₂）．
点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．
因，，则=．（9分）
于是，∠MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．（10分）
（3）依据（2）可算出，，
则==，==．（14分）
所以，S₂²=4S₁S₃，即存在实数λ=4使得结论成立．（15分）
对进一步思考问题的判断：正确．（18分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．