Question

已知函数
（1）当a=0时，求f（x）在处切线的斜率；
（2）当时，讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2bx+3当时，若对于任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，令，即可求得切线的斜率；
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间；
（3）原命题等价于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值，由此可求实数b的取值范围．
解答：解：（1）∵a=0，∴，
∴
则f（x）在处切线的斜率…（4分）
（2）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），
 ①当a=0时，，令f'（x）=0，解得x=1，
∴x∈（0，1），f'（x）＜0；x∈（1，+∞），f'（x）＞0
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）…（6分）
 ②当时，，解得x₁=1或且x₁＜x₂
列表

x	（0，1）	1	（1，）		（）
f′（x）	-		+		-
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

由表可知函数f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为，单调递减区间为；
③当时，，∴函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．…（10分）
（3），，解得x₁=1或x₂=3
∵x∈（0，2），∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，2），
∴f（x）的最小值为
原命题等价于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值，
又g（x）=x²-2bx+3x∈[1，2]
①当b＜1时，g（x）的最小值为g（1）=4-2b＞2，不合；
②当b∈[1，2]时，g（x）的最小值为，解得；
③当b∈（2，+∞）时，g（x）的最小值为，解得b＞2，
综上，b的取值范围． …（14分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查切线的斜率，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．