Question

（本题满分12分）已知函数．

（Ⅰ）用分段函数的形式表示，并求的最大值；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）,最大值是;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分x≥1，x＜1可去掉绝对值，得到g（x）﹣f（x）的表达式，再考虑各段的最值，即可得到函数的最大值；

（Ⅱ）讨论x≥1时，x＜1时的g（x）≥f（x）的解集，注意运用二次不等式的解法，最后再求并集．

试题解析：（Ⅰ） 4分

由函数图象可知，g（x）-f（x）的最大值在[1，4]上取得，

∴,

∴当x=时，g（x）-f（x）取到最大值是． 6分

（Ⅱ）当x≥1时，f（x）=x-1；

7分

整理，得（x-1）（x-4）≤0，

解得； 8分

当x＜1时，f（x）=1-x；

∵g（x）≥f（x），

∴， 9分

整理，得（x-1）（x-6）≤0，

解得，

又，所以不等式组无解 10分

综上，x的取值范围是[1，4]． 12分

考点：分段函数的应用．