Question

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1的两个焦点，P为椭圆上一点，且

PF1

⊥

PF2

，若△PF₁F₂的面积为

 

．

Answer 1

分析：由椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1可得：a，b，c．设|PF₁|=m，|PF₂|=n．由于

PF1

⊥

PF2

，可得∠F₁PF₂=90°．利用勾股定理可得：m²+n²=（2c）²=64．利用椭圆的定义可得：m+n=2a=10，进而得到mn．

解答：解：由椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1可得：a²=25，b²=9．
∴a=5，b=3，c=

a2-b2

=4．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
∵

PF1

⊥

PF2

，
∴∠F₁PF₂=90°．
∴m²+n²=（2c）²=64．
又m+n=2a=10，
联立

m+n=10 m2+n2=64

，解得mn=18．
∴△PF₁F₂的面积S=

1

2

mn=9．
故答案为：9．

点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量垂直、勾股定理、三角形的面积等基础知识与基本技能方法，属于中档题．