Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a-1）x²+bx（a，b为常数）在x=1和x=4处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，2]时，都有2f（x）＜-5x+c，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即；
（2）分离参数，构造函数求出函数的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²+（a-1）x+b．）
由题设知$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=1+（a-1）+b=0}\\{f′（4）=16+4（a-1）+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²+4x，
（2）由题设知2f（x）＜-5x+c，
即c＞$\frac{2}{3}$x³-5x²+13x．
设g（x）=$\frac{2}{3}$x³-5x²+13x，x∈[-2，2]，
所以c只要大于g（x）的最大值即可．
g′（x）=2x²-10x+13，
当x∈（-2，2）时g′（x）＞0．
所以g（x）_max=g（2）=$\frac{34}{3}$，
所以c＞$\frac{34}{3}$．

点评 本题考查了导数和函数的极值问题，以及参数的取值范围即恒成立问题，属于中档题．