Question

如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB、AC于点D、E；设，，其中0＜m≤1，0＜n≤1．
（1）求表达式的值，并说明理由；
（2）求△ADE面积的最大和最小值，并指出相应的m、n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将向量用向量表达，由D、G、E三点共线，即可得到m和n的关系．
（2）由三角形面积公式，S_ΛADE=mn，由（1）可知=3，由消元法n=，转化为m的函数求最值即可．
解答：解：（1）如图延长AG交BC与F，∵G为△ABC的中心
∴F为BC的中点，则有
∵，，
∴即
∵D、G、E三点共线
∴
故=3

（2）∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴|AD|=m，|AE|=n∴S_ΛADE=mn
由=3，0＜m≤1，0＜n≤1
∴n=，即．
∴S_ΛADE=mn=
设t=m-则m=t+（）
∴S_ΛADE=mn=（t++）
易知在为减函数，在为增函数．
∴t=，即，时，f（t）取得最小值，
即S_ΛADE取得最小值
又，
∴f（t）取得最大值是，
则S_ΛADE取得最大值，此时或
点评：本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值，考查消元和换元等方法．