Question

如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB、AC于点D、E；设

AD

=m

AB

，

AE

=n

AC

，其中0＜m≤1，0＜n≤1．
（1）求表达式

1

m

+

1

n

的值，并说明理由；
（2）求△ADE面积的最大和最小值，并指出相应的m、n的值．

Answer 1

分析：（1）将向量

AG

用向量

AD

和AE

表达，由D、G、E三点共线，即可得到m和n的关系．
（2）由三角形面积公式，S_ΛADE=

3

4

mn，由（1）可知

1

m

+

1

n

=3，由消元法n=

m

3m-1

，转化为m的函数求最值即可．

解答：解：（1）如图延长AG交BC与F，∵G为△ABC的中心
∴F为BC的中点，则有

AF

=

1

2

AB

+

1

2

AC

∵

AD

=m

AB

，

AE

=n

AC

，

AG

=

2

3

AF

∴

3

2

AG

=

1

2m

AD

+

1

2n

AE

即

AG

=

1

3m

AD

+

1

3n

AE

∵D、G、E三点共线
∴

1

3m

+

1

3n

=1
故

1

m

+

1

n

=3

（2）∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴|AD|=m，|AE|=n∴S_ΛADE=

3

4

mn
由

1

m

+

1

n

=3，0＜m≤1，0＜n≤1
∴n=

m

3m-1

，1≤

1

m

≤2即

1

2

≤m≤1．
∴S_ΛADE=

3

4

mn=

3

4

m2

3m-1

设t=m-

1

3

则m=t+

1

3

（

1

6

≤t≤

2

3

）
∴S_ΛADE=

3

4

mn=

3

12

（t+

1

9t

+

2

3

）
易知f(t)=t+

1

9t

在[

1

6

，

1

3

]为减函数，在[

1

3

，

2

3

]为增函数．
∴t=

1

3

，即m=n=

2

3

，时，f（t）取得最小值

2

3

，
即S_ΛADE取得最小值

3

9

又f(

1

6

)=f(

2

3

)=

5

6

，
∴f（t）取得最大值是

5

6

，
则S_ΛADE取得最大值

3

8

，此时m=

1

2

，n=

2

5

或m=1，n=

1

2

点评：本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值，考查消元和换元等方法．