Question

（本小题满分12分）
设椭圆：的焦点分别为、，抛物线:的准线与轴的交点为，且．
（I）求的值及椭圆的方程；
（II）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图），
求四边形面积的最大值和最小值．

Answer 1

解：（I）由题意，. 抛物线:的准线方程为，所以点的坐标为.
，为的中点.  ……………………………………………….2分
，，即椭圆方程为.  …………………………………….3分
（II）①当直线与轴垂直时，，此时，
四边形的面积；
同理当与轴垂直时，也有四边形的面积. …………5分
②当直线、均与轴不垂直时，设直线，，.
由消去得.  ………………………….7分
则，.
所以，；
同理 .    …….……………………………9分
所以四边形的面积，令得
因为，当时，，，
且是以为自变量的增函数，所以.
综上可知，．故四边形面积的最大值为4，最小值为.
…………………………………………………………12分

略