Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AB、BC的中点，若点M为棱B₁B上的一点，当的值为多少时，能使D₁M⊥平面EFB₁？并给出证明.

Answer 1

【探究】 本题属开放型问题，一般先猜后证.由于E、F为中点，所以猜想M也是中点.

解：当时，能使D₁M⊥平面EFB₁，证明如下：

    当M为B₁B中点时，在平面AA₁B₁B内有△A₁MB₁≌△B₁EB，∴∠B₁A₁M=∠BB₁E.而∠B₁MA₁+∠B₁A₁M=90°,∴∠B₁MA₁+∠BB₁E=90°.

∴A₁M⊥B₁E.

∵D₁A₁⊥平面AA₁B₁B，B₁E平面AA₁B₁B,

∴D₁A₁⊥B₁E.

由于A₁M∩D₁A₁=A₁,∴B₁E⊥平面A₁MD₁.

∵D₁M平面A₁MD₁,∴B₁E⊥D₁M.

同理，连结C₁M，可证明B₁F⊥D₁M.

∵B₁E∩B₁F=B₁,∴D₁M⊥平面EFB₁.

【规律总结】 (1)猜想要和题目中的点的性质相联系.

(2)平面内证两线垂直的方法可通过三角形中某两个角的和为直角来判断.