Question

已知函数f（x）=x+

a

x

，g（x）=x-

a

x

，a＜2

2

-3．
（1）求证：函数f（x）在（0，1]上单调递增；
（2）函数g（x）在（0，1]上单调递减，求a的取值范围；
（3）若对任意x∈（0，1]，函数h（x）=x|x-b|+a的图象在x轴下方，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求解f（x）在（0，1]上单调递增，只需解得f′（x）＞0即可．
（2）已知g（x）在（0，1]上单调递减，令g′（x）≤0，解出a的取值范围．
（3）函数h（x）在x轴的下方，得h（x）＜0，解出f（x）＜b＜g（x），从而得到f（x）_max＜b＜g（x）_min，x∈（0，1]．借助（1）、（2），对a分两种情况进行讨论，分别求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，即得b的取值范围．

解答：解：
（1）∵f（x）=x+

a

x

，∴f′（x）=1-

a

x2

＞0∴f（x）在（0，1]上单调递增；
（2）依题意得g′（x）=1+

a

x2

≤0，即a≤-x²，
∵0＜x≤1，
∴-1≤x²＜0；
∵-1＜2

2

-3
∴a≤-1
（3）∵h（x）＜0，即|x-b|＜-

a

x

，∴x+

a

x

＜b＜x-

a

x

，即f（x）＜b＜g（x），
∴f（x）_max＜b＜g（x）_min，x∈（0，1]．
1°当-1＜a＜2

2

-3时，由（1）知f（x）_max=f（1）=1+a，
而g（x）=x-

a

x

≥2

-a

，当且仅当x=-

a

x

时，等号成立∴1+a＜b≤2

-a

．
2°当a≤-1时，可得g（x）最小值为g（1）=1-a，
又由（1）知f（x）最大值仍为f（1）=1+a，∴1+a＜b＜1-a．
综上所述，当-1＜a＜2

2

-3时，∴1+a＜b＜2

-a

；
当a≤-1时，1+a＜b＜1-a．

点评：本题主要考查函数的单调性、最值等关于函数的基础知识，当然本题还应用了不等式的求解，属于一道综合题，应熟练掌握．