Question

（2013•山东）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别是F₁，F₂，离心率为

3

2

，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁，PF₂，设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，若k≠0，试证明

1

kk1

+

1

kk2

为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析：（1）把-c代入椭圆方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

，由已知过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得

2b2

a

=1．再利用e=

c

a

=

3

2

，及a²=b²+c²即可得出；
（2）设|PF₁|=t，|PF₂|=n，由角平分线的性质可得

t

n

=

|MF1|

|F2M|

=

m+ 3

3 -m

，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到

4-n

n

=

3 +m

3 -m

，化为n=

2( 3 -m)

3

，再根据a-c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；
（3）设P（x₀，y₀），不妨设y₀＞0，由椭圆方程

x2

4

+y2=1，取y=

1- x2 4

，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k₁，k₂，代入即可证明结论．

解答：解：（1）把-c代入椭圆方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

，
∵过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴

2b2

a

=1．
又e=

c

a

=

3

2

，联立得

2b2 a =1 a2=b2+c2 c a = 3 2

解得

a=2，b=1 c= 3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）如图所示，设|PF₁|=t，|PF₂|=n，
由角平分线的性质可得

t

n

=

|MF1|

|F2M|

=

m+ 3

3 -m

，
又t+n=2a=4，消去t得到

4-n

n

=

3 +m

3 -m

，化为n=

2( 3 -m)

3

，
∵a-c＜n＜a+c，即2-

3

＜n＜2+

3

，也即2-

3

＜

2( 3 -m)

3

＜2+

3

，解得-

3

2

＜m＜

3

2

．
∴m的取值范围；(-

3

2

，

3

2

)．
（3）证明：设P（x₀，y₀），
不妨设y₀＞0，由椭圆方程

x2

4

+y2=1，
取y=

1- x2 4

，则y′=

- 2x 4

2 1- x2 4

=-

x

4 1- x2 4

，
∴k=kl=-

x0

4 1- x 2 0 4

=-

x0

4y0

．
∵k1=

y0

x0+ 3

，k2=

y0

x0- 3

，
∴

1

k1

+

1

k2

=

2x0

y0

，
∴

1

kk1

+

1

kk2

=-

4y0

x0

×

2x0

y0

=-8为定值．

点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．