Question

【题目】已知函数f（x）=sin（x+ ）+cosx，x∈R，
（1）求函数f（x）的最大值，并写出当f（x）取得最大值时x的取值集合；
（2）若α∈（0， ），f（α+ ）= ，求f（2α）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sin（x+ ）+cosx= sinx+ cosx+cosx= sinx+ cosx

= sin（x+ ），

当x+ =2kπ+ ，

即x=2kπ+ ，k∈Z时，函数f（x）取得最大值 ．

此时x的取值集合是{x|x=2kπ+ ，k∈Z}

（2）解：由（1）知f（x）= sin（x+ ），

∵f（α+ ）= ，

∴f（α+ ）=）= sin（ +α+ ）= cosα= ，

∴cosα= ，

∵α∈（0， ），

∴sinα= ，

sin2α=2sinαcosα=2× = ，

cos2α=2cos2α﹣1=﹣ ，

∴f（2α）= = sin2α+ cos2α= = ．

【解析】（1）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式将函数f（x）进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最大值，并写出当f（x）取得最大值时x的取值集合；（2）根据条件求出sinα和cosα的值，利用二倍角公式进行化简求值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：．