Question

给出下列命题：
①若

a

≠

0

，则

a

•

b

=

a

•

c

是

b

=

c

成立的必要不充分条件；
②已知

a

=(3，4)，

b

=(0，-1)，则

a

在

b

方向上的投影为-4；
③设点P分

P1P2

所成的比为

3

4

，则点P₁分

P2P

所成的比为-

3

7

；
④函数y=tan(x+

π

3

)的图象关于点(

π

6

，0)成中心对称．
其中正确命题的序号是

①②④

（请将所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：对各个选项分别加以判别：根据向量数量积的性质，可得①正确；根据向量投影的坐标公式，得②正确；根据有向线段定比分点公式，得③不正确；根据正切函数图象的对称中心规律，得到④正确．

解答：解：①若

a

≠

0

，则

a

•

b

=

a

•

c

通过移项，提公因式得：

a

(

b

-

c

)  =0，
说明两个向量垂直，不一定有

b

=

c

，充分性不成立，反过来若

b

=

c

，则

a

•

b

=

a

•

c

必然成立，所以是必要条件，故①正确；
②

a

=(3，4)，

b

=(0，-1)，得

a

在

b

方向上的投影为

a • b

| b |

=

3×0+4×(-1)

0 2+(-1) 2

=-4，故②正确；
③设点P分

P1P2

所成的比为

3

4

，说明

P1P

=

3

4

 

P P2

，则

P2P1

=-

7

3

P1P

，点P₁分

P2P

所成的比为-

7

3

，故③不正确；
④正切函数y=tanx图象的对称中心坐标为（

kπ

2

，0），从而函数y=tan(x+

π

3

)的图象关于点（

kπ

2

-

π

3

，0）成中心对称，当整数k=1时此对称中心为(

π

6

，0)，故④正确
故答案为：①②④

点评：本题以向量，三角函数的图象为载体，考查了命题真假的判断，属于中档题．熟记三角与向量的有关公式和相关结论，是解好本题的关键．