Question

在平面直角坐标系中，已知点,圆的圆心在直线上，并且与直线相切于点.

(Ⅰ)求圆的方程；

(Ⅱ)若动点满足，求点的轨迹方程；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数，使得的取值范围是，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）设所求圆的圆心坐标为，半径为.

     因为 圆心在直线上，     所以 ，即圆心.

     因为 圆与直线相切于点，

（法一）

 所以 圆心到直线的距离. 即 .

整理得：. 解得：.

（法二）  

所以垂直于直线.所以，即.所以 .

所以 所求圆的方程为.        ………4分

（Ⅱ）设.

因为 ，所以.整理得 .

即点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆.

（Ⅲ）存在实数，使得的取值范围是.

（1）当圆与圆外离时，依题意可得：

即 由解得.

由解得. 所以.

（2）当圆内含于圆时，依题意可得：即

由，解得.此时，与矛盾.

综上所述，存在实数，使得的取值范围是.