Question

给出下列四个命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=1；
②是奇函数；
③是函数的图象的一条对称轴；
④函数y=cos（sinx）的值域为[0，cos1]．
其中正确命题的序号是     ．

Answer 1

【答案】分析：由sinα•cosα=sin2α，然后根据三角函数值域，可判断①的真假；根据三角函数的对称性，易得到的图象关于原点对称，根据奇偶性的定义易判断②的真假；将代入，根据函数对称性，易判断③的正误；根据正弦函数的值域，及余弦函数的单调性易判断④的对错．
解答：解：①中，∵sinα•cosα=sin2α∈[-，]
故存在实数α，使sinα•cosα=1为假命题；
②中，由三角函数的对称性，我们易得（kπ，0）（k∈Z）点为函数图象的对称中心
当k=0时，（0，0）点为函数的对称中心
故函数是奇函数为真命题；
③中，当时，2x-=-，此时2x-的终边落在Y轴上，
函数取最值，故是函数的图象的一条对称轴是正确的，
④中，∵sinx∈[-1，1]，故函数y=cos（sinx）的值域为[cos1，1]，故④错误；
故答案：②、③．
点评：本题考查的知识点是三角函数的值域，三角函数的对称性，及命题真假的判断．其中正弦（余弦）函数的对称性可归纳为：若x=a时，函数取最值，则直线x=a为函数图象的对称轴，若x=a时，函数值为0，则（a，0）点为函数图象的对称中心．