Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=a，且
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数a的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令，在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），类比可得a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），两式相减即可得到结论；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）确定C₁C₂=-1＜0，n≥2时，C_n＞0，即可得到结论．
解答：解：（1）由已知得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）．
又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，所以a₁=1
所以数列{a_n}是以1为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）得，
∴b_n=na_n=n•3^n-1
∴T_n=1+2•3+3•3²+…+n•3^n-1，
∴3T_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
两式相减可得：-2T_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ，
∴T_n=；
（3）由（2）知，b_n=n•3^n-1，
∵
∴，∴C₁C₂=-1＜0
∵C_n+1-C_n==＞0
∵＞0，∴n≥2时，C_n＞0
∴数列{c_n}的“积异号数”为1．
点评：本题考查等比数列，考查数列的求和，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．