Question

已知函数的定义域为（0，+∞），且单调递增，满足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）证明：f（1）=0；
（Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=y=1即证f（1）=0；
（Ⅱ）依题意，可求f（x（x-3））＜f（4），利用函数的定义域为（0，+∞），且单调递增，即可求得x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（Ⅱ）∵f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（x-3）≤1=f（4）?f（x（x-3））≤f（4），
∵函数的定义域为（0，+∞），且单调递增，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

，解得3＜x≤4，
∴x的取值范围为（3，4]．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法即函数单调性的性质，考查解不等式组的能力，属于中档题．