题目内容

设 $数学公式$
（1）若f（x）在 $数学公式$ 上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为 $数学公式$ ，求f（x）在该区间上的最大值．

解：（1）f′（x）=-x²+x+2a
f（x）在 $\text{[math]}$ 存在单调递增区间
∴f′（x）＞0在 $\text{[math]}$ 有解
∵f′（x）=-x²+x+2a对称轴为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 递减
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ．

（2）当0＜a＜2时，△＞0；
f′（x）=0得到两个根为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ （舍）
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0； $\text{[math]}$ 时，f′（x）＜0
当x=1时，f（1）=2a+ $\text{[math]}$ ；当x=4时，f（4）=8a $\text{[math]}$ ＜f（1）
当x=4时最小∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 解得a=1
所以当x= $\text{[math]}$ 时最大为 $\text{[math]}$
分析：（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．
（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．
点评：本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．