Question

设
（1）若f（x）在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在[1，4]上的最值．

Answer 1

解：（1），
当，
令，
所以，当上存在单调递增区间；
（2）当a=1时，，
f'（x）=-x²+x+2，令f'（x）=-x²+x+2=0得x₁=-1，x₂=2
因为f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，4）上单调递减．
所以f（x）在[1，4]上的最大值为．
因为，，
所以f（x）在[1，4]上的最小值为．
分析：（1）f（x）在上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在上有解，根据f′（x）的单调性，只要f′（x）_max＞0即可；
（2）当a=1时，，利用导数求出其极值，端点处函数值，然后进行比较即可求得最值；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，正确理解导数与函数单调性的关系及准确求导是解决问题的基础．