题目内容
【题目】某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为
，求的分布列和数学期望.
附：
【答案】（1）820人；（2）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（3）分布列见解析，期望为1．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，当前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列时，
以下的频率为
，故全年级视力在以下的人数约为
；
（Ⅱ）由
，因此在犯错误的概率不超过
的前提下认为视力与学习成绩有关系；
（Ⅲ）依题
可取
，
，
，
，则
，
，
，
，
所以的数学期望
.
试题解析：（Ⅰ）设各组的频率为
，
依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故
，
，
所以由
得
，
所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，
故全年级视力在5.0以下的人数约为
(Ⅱ)
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，
可取0，1，2，3，
，，
，
的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
的数学期望
【题目】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）二次函数
的图像的顶点坐标是
；
（2）正数的立方根都是正数；
（3）存在一个最大的内角小于60°的三角形；
（4）对任意实数t，点
都在一次函数
的图像上．
【题目】某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：
积极参加班级工作 | 不积极参加班级工作 | 合计 | |
学习积极性高 | 18 | 7 | 25 |
学习积极性不高 | 6 | 19 | 25 |
合计 | 24 | 26 | 50 |
（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？
（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？
（3）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．
附：
