Question

已知等差数列{a_n}公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²－12x＋27＝0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n＝1－b_n．

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较与S_n+1的大小，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知得， 　　又∵{an}的公差大于0， 　　∴a5＞a2． 　　∴a2＝3，a5＝9． 　　∴d＝＝2，a1＝1． 　　∵Tn＝1－b1，∴b1＝． 　　当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1， 　　∵bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，化简，得bn＝bn－1， 　　∴{bn}是首项为，公比为的等比数列， 　　∴bn＝×()n－1＝．∴an＝2n－1，bn＝． 　　(2)∵Sn＝n＝n2， 　　∴Sn+1＝(n＋1)2，＝， 　　以下比较与Sn+1的大小： 　　当n＝1时，，S2＝4，∴＜S2， 　　当n＝2时，，S3＝9，∴＜S3， 　　当n＝3时，，S4＝16，∴＜S4， 　　当n＝4时，，S5＝25，∴＞S5． 　　猜想：n≥4时，＞Sn+1． 　　下面用数学归纳法证明： 　　(1)当n＝4时，已证． 　　(2)假设当n＝k(k∈N+，k≥4)时，＞Sk+1， 　　即＞(k＋1)2， 　　那么，n＝k＋1时， 　　＝3×＞3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3 　　＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1＞[(k＋1)＋1]2＝S(k+1)+1， 　　∴n＝k＋1时，＞Sn+1也成立． 　　由(1)(2)可知n∈N+，n≥4时，＞Sn+1都成立． 　　综上所述，当n＝1，2，3时，＜Sn+1， 　　当n≥4时，＞Sn+1． 　　思路分析：“试分析”在告诉我们，与Sn+1的大小可能随n的变化而变化，因此对n的取值验证要多取几个．